2017年河南科技大学信息工程学院856高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
2． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 3． 设
则3条直线
（其中
【答案】D
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D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出. 线性相关，故选D.
4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
5． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
二、分析计算题
6． 判断下列两个多项式有无重因式？再求其在有理数域Q 上的标准分解式：
【答案】用辗转相除法可得
即
故f （x ）有重因式. 又因为
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故x-4与x+1是f （x ）的仅有的不可约因式. 再利用（综合）除法易知，x-4是f （x ）的单因式，而x+1是 f （x ）的4重因式. 故f （x ）在Q 上的标准分解式为
②利用辗转相除法，在有理数域Q 上可得
故g （x ）有重因式. 又易知
故g （x ）在Q 上的不可约多项式仅有利用多项式除法又进一步可知，
都是g （x ）
的2重因式，故g （x ）在Q 上的标准分解式为
7． 设A 、B 均是正定阵，证明：
（1）方程的根均大于0； （2）方程
的所有根等于
【答案】（1）因为A 、B 正定，所以E 可逆阵P ，使
又因为B 正定正定，所以
而
所以
即的根为且全大于0.
（2）
因为
的相
由（1）知，
所以
的所有根均等于1，
8． 设A 为n 阶方阵. 证明：
【答案】设
由定理可得，
又因n=r（A-E-A ）≤r （A-E ）+r（A ）
，故r （A ）+r（A-E ）=n. 第 4 页，共 44 页