2017年河南科技大学信息工程学院856高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1．
设
是3维向量空
间的一组基, 则由
基
到
基
的过渡矩阵为（ ）
.
【答案】（A ） 2． 设
为空间的两组基，且
又
则（ ）•
【答案】（C ）
【解析】令由②有
将①代入④得
即
3． 若
都是4维列向量，且4阶行列式
【答案】 C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
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4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D. 【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
则A 与B （ ）.
所以A 的特征值为3，3，0；而
二、分析计算题
6． 设
是线性空间V 上的可逆线性变换
的特征值一定不为0;
特征值，那么是
的特征值.
（1）证明：
（2）证明：如果1是【答案】（1）设
的特征值就是A 的特征值. 由于
A 有特征值为零的充分必要条件是IAI=0.
故可逆时即A 可逆时，它的全部特征值皆不为零. （2）设
是
a 是属于的特征向量，的特征值，则
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在某基下的矩阵A ，则
两边用去作用它，则[.
，由（1）
即 7． 设
是
再用乘它的两边，则得
的特征值.
的所有向量
证明施以初等行变换
线性无关.
（1）求满足
（2）对（1）中的任意向量【答案】（1）对矩阵
可求得
其中k 为任意常数. 又
对矩阵
施以初等行变换
可求得
其中a ，b 为任意常数. （2）证法1:由（1）知
所以线性无关.
设存在数
使得
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证法2:由题设可得
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