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一、选择题

1． 设线性方程组

的解都是线性方程组

的解空间分别为

的解，则（ ）。

则

所以

即证秩

2． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使

C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】

3． 齐次线性方程组

D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B

【答案】（C ） 【解析】设

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C 【解析】若当C.

4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A.

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使AB=0, 则（ ）

.

由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

由AB=0，左乘

可得

矛盾，从而否定A ，故选

时，

B. C. D.

【答案】D 【解析】由题设知所以

5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而

不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

.

则

也不是线性变换，

比如给

二、分析计算题

6． 设水银密度h 与温度t 的关系为

由实验测定得以下数据：

表

求

【答案】设

则因此

满足

满足下面的线性方程组

时水银密度（准确到小数两位）. 提示根据上题，求出

此线性方程组有惟一解. 解为

将

及40代入

即知

时，水银密度

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时，水银密度

7． 设是数域K 上n 维空间

【答案】数也是n , 故

即是满射（从而是同构映射）.

②反之，若是满射，而子空间，则

其中

关于

为同态核，即

是单射，则

的一个同态映射（即保持运算的映射）. 证明：

但的维数是n , 从而的n 维子空间. 但的维

的零向量）的全体逆像作成的的

作成K 上线性空间（称为商空间）. 但因为又由

的维数

维

维数，故

为n 维空间，故维数是0, 从而

的维数也是n.

因此是单射（从而

为同构映射）•

8． 设A 是数域K 上的一个mxn 矩阵，B 是一个m 维非零列向量，令

（1）证明：W 关于（2）设线性方程组

的运算构成

的子空间.

证明W 的维数

的增广矩阵的秩为

（3）对于非齐次线性方程组

求W 的一个基. 【答案】（1）显然W 是为

所以（2）因为

对于任意的

故W 是

所以存在

的子空间. 元线性方程组

的解空间V 的维数为

下面证明

的非空子集.

则存在

使

因

显然t 是惟一的，于是

存在

使

于是

是映射，容易验证是双射. 那么

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