2017年河南理工大学数学与信息科学学院877高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 2． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设 可逆，由于 的伴随矩阵为（ ）. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 则分块矩 且 ， 所以 3． 设A 为4×3矩阵，常数，则 是非齐次线性方程组 的3个线性无关的解， 为任意 的通解为（ ） 【答案】C 【解析】由 于又显然有基础解系. 考虑到 4． 设次型. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】方法1 用排除法令 则 这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2 所以当方法3 设 时，f 为正定二次型. 对应的矩阵为A ，则 A 的3个顺序主子式为 是非齐次线性方程 组，所以有解矛盾） 的三个线性无关的解，所 以从而 是 的一个 是对应齐次线性方程组（否则与是 的两个线性无关的解. 的一个特解，所以选C. 则当（ ）时，此时二次型为正定二 为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1 所以当方法4令 时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）. 所以f 为正定的. 5． 设 A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A 【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值 又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵 其中 故A 〜B. 再由 是正交阵，知T 也是正交阵，从而有 且由①式得 则A 与B （ ）. 使 因此A 与B 合同. 二、分析计算题 6． 用除/（x ），求商与余式r （x ）: （1）（2） 【答案】（1）用分离系数的竖式进行计算