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一、证明题

1． 设在证明和一切

在

【答案】因为

, 都有

内成立不等式

上一致收敛且绝对收敛. 关于

为

一致收敛, 所以任给

, 所以

即

关于

一致收敛且绝对收敛. 的如下不等式:

2． 证明关于函数

（1）当（2）当【答案】即

（1）当（2）当

3． 设正项级

【答案】因为进而由比较原则得 4． 设

【答案】

故

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. 若

, 存在

在上一致收敛,

, 对任何

时, 时,

是不超过的最大整数, 因此

时, 式（*）两边同乘以x , 得到时, 式

两边同乘以x , 得到

也收敛. ，义由已知碍

收敛.

, 证明:复合函数

及

收敛，证明级数

收敛，所以收敛，

在x=0连续, 但g 在x=0不连续.

在x=0连续. 由

, 可知g 在x=0不连续.

5． 设D （x ）为狄利克雷函数,

取

, 对

及

, 证明极限不存在.

,

使得

不存在 , 使得

一个是

【答案】方法一:利用柯西准则的否定形式.

, 由实数的稠密性知,

存在

, 从而

及无理数列

有理数, 一个是无理数, 于是有

方法二:利用归结原则的否定形式. 对

6．

证明函数

在

上连续. （提示:证明中可利用公式

据

所以

为积分下限函数是﹣y 的连续函数,

所以F （y

）在

7． 证明:闭区间

【答案】设

:设

, 不妨设

的全体聚点的集合是

的全体聚点的集合是M.

则

中有无穷多个实数, 故a 是

则

故

的任意邻域内都含有设.

故综上所述,

8． 设f （X ）在

, 令

, 即闭区间

的全体聚点的集合是上n+1阶导数且. 由微分中值定理

求证:

..

【答案】将f （a+h）在a 点作带有佩亚诺型余项的泰勒展开

对

在a 点作同样的展开, 有

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, 存在趋于X 0的有理数列,

从而

不存在.

【答案】令 x －y=u, 因此 x=u＋y ,

上连续.

本身.

由实数集的稠密性知, 集合的一个聚点

. 设

, 不妨设

的一个聚点.

同理, b

也是

中的无穷多个点, 故为

, 则

的一个聚点. 总之

. 即不是本身. 及

的聚点,

即

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将上式代入式（1）可得

比较式（2）、式（

3）, 且有

,

则

9

故

9． 设f 为

使

在,, 则存在

于是假设不存在对 10．

, 这与f （x ）在

使

应用达布定理可知, 存在

上不能恒为正, 也不能恒为负. 用反证法, 假设恒有

, 使得（介于

之间）.

,

, 这与假设矛盾,

故原命题得证.

在

记

上有界.

使得

设

. 由泰勒定理得,

【答案】先证

上的二阶可导函数, 若f 在

上有界,

则存在

,

上有界矛盾. 再用反证法证明原命题.

. 则存在a 、b , 使得

使得

在[a, b]上有定义且在每一点有极限, 证明:【答案】反证法. 若

依次取

由的选取方法有

则得到数列

在[a, b]上无上界, 则对任意正整数n , 存在

由致密性定理知, 存在收敛子列

这与

在

处存在极限矛盾. 故

在

上有界.

二、计算题

11．讨论下列函数在给定点或区间上的连续性, 并指出不连续点的类型.

（1）

（2）黎曼函数

, 在[0, 1]上.

【答案】（1）当a>0时,

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在点, 其中a 为一实数;

在点连续;