2018年曲阜师范大学统计学院750数学分析A考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 给定曲面
（a , b , c 为常数）, 或由它确定的曲面z=z （x , y ）. 证明:
（1）曲面的切平面通过一个定点; （2） 函数z=z（x , y ）满足方程【答案】（1）因
及
与
不能同时为零, 得出
化简得
把它与过（a , b, c）点的切平面方程比较, 即知曲面z=z（x , y ）的切平面过定点（a , b , c ）. （2）对上式再求偏导数, 得
化简得
当
由函连续可微性, 知
2． 设f 在x=0连续, 且对任何
（1）f 在R 上连续； （2）
【答案】（1）由
.
可知f （0+0） =2f（0）, 于是f （0） =0.
第 2 页，共 25 页
.
时, 即可看出成立.
对x=a或y=b时也成立. 有
. 证明:
由f 在x=0连续可得, 并且对一切
故f 在R 上连续. （2）对整数p , q （
）有
所以
于是对任何有理数r 有上连续, 有
【答案】设n 和l 的方向余弦分别是由第一、二型曲面积分之间的关系可得
由l 方向固定,
都是常数, 故
, 由高斯公式得
. 对任何无理数, 存在有理数列. 故对任何
,
.
其中n 为曲面S 的外法线方向. 和
, 则
, 使
. 由f 在R
3． 证明:若S 为封闭曲面, l 为任何固定方向, 则
二、解答题
4． 求下列函数的导数:
（1）（2）
【答案】（1）
求, 求
和和
.
（2）
第 3 页，共 25 页
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
5． 求由下列曲线所围的平面图形面积:
（1）（2
）（3）
【答案】（1
）令
,
故
从而
x+y=a变换成u=a
, x+y=b
变换成u=b
, y=ax变换成（2）令变换成
即
所以曲面面积为
（3）令当
时,
则
即
从而方程
变换成
, 由图形（如图）的对称性可知图形面积:
, 则
从而方程
变换成
所以图形面积
图
第 4 页，共 25 页