2017年大连交通大学理学院601高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 将绕在圆（半径为a ）上的细线放开拉直，使细线与圆周始终相切（如图），细线端点画出的, y=a, 算出这曲线上相应于轨迹叫做圆的渐伸线。它的方程为x=a（cost+tsint）（sint-tcost ）的一段弧的长度。
图
【答案】
2． 求当x →0时，
【答案】由题意知
因为
所以
因为 3． 设
【答案】
，求向量a ＋b 与a －b 的夹角.
，所以
不存在。
的左右极限，并说明它们在x →0时的极限是否存在。
，
，
因此有
。
故
所以
4． 求下列函数的一阶和二阶偏导数：
。
【答案】（1）
（2）
3
5． 一物体按规律x=ct作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x=0移到x=a时，克服介质阻力所作的功。
【答案】速度为
，阻力为
，由此得到
。
设当t=T时，x=a，得，故。
6． 利用定积分的定义计算下列极限:
（1）（2）【答案】（1）（2）
二、证明题
7． 根据函数极限的定义，证明极限存在的准则I ’。
如果等于A 。
【答案】对即
又因取而有
注：对于则I ’。
8． 设曲线
（1）（2）（3）
（正整数n ≥1）在第一象限与坐标轴围城图形的面积为
，证明：
，因。 ，故对上面的。
则当
，即有
的庆幸，利用极限
时，假设（1）及关系式（3）、（4）同时成立，从
因此
存在，且等于A 。
的定义及假设条件，可以类似地证明相应的准当
时，有
即
故
，使得当
时，有
，
，那么
存在，且
【答案】（1）如图所示