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一、计算题

1． 求通过点A （3，0，0）和B （0，0，1）且与xOy 面成了

【答案】设所求平面方程为

角的平面的方程.

，B （0，0，l ），故a=3，c=1.这样平面方程为

平面过点A （3，0，0）

它与xOy 面成

角，故

即

故所求平面为

2．

设

的表达式：

【答案】

注:

3． 求对数螺线

【答案】

4． 求锥面

【答案】由

被柱面

解得

所割下部分的曲面面积。

，

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写

出

相应于

的一段弧长。

及

故曲面在xOy 面上的投影区域（图）

图

被割曲面的方程为

于是所求曲面的面积为

5． 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数

【答案】（1）

：

（2）

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6． 根据定积分的性质及第12题的结论, 说明下列各对积分哪一个的值较大:

【答案】（1）在区间[0, l]上（2）在区间[l, 2]上（3）在区间[l, 2]上由于

（4）由教材第三章第一节例l 可知当（5）由于当x>0时

, 因此

, 得

时,

, 因此

比

大 , 因此

, 因此, 因此

大

大 大

大

, 故此时有

二、证明题

7． 设f （x ，y ）在D 上连续，其中D 是由直线y=x，y=a及x=b（b>a）所围成的闭区域，证明

【答案】等式两端的二次积分均等于二重积分

8． 证明以下各式（其中

（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）因为

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，因而它们相等.

）：

。