2017年常州大学材料学院601理学数学考研强化模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 求下列伯努利方程的通解
【答案】（1）将原方程改写成且原方程化为
其中故即
为所求通解。
并
令
故原方程的通解为
或写成
（3）将原方程改写成
，并令
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，并令
（2）将原方程改写
成
则且原方程化
为
则
于是原方程化为
即为所求通解。
并令
则
（4）将原方程改写成且原方程化为
故原方程的通解为（5）原方程可写成且原方程化为
即
令z=y,
则
-2
故原方程通解为
或写成
2． 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:
（l ）曲线在点（x ，y ）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;
（2）曲线上点P （x ，y ）处的法线与z 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.
，它在点（x ，y ）处的切线斜率为y ＇，依条件，有y ＇【答案】（l ）设曲线方程为y=y（x ）=x2此为曲线方程所满足的微分方程.
，
故该点处法线斜率为（2）设曲线方程为y=y（x ）. 因它在点P （x ，y ）处的切线斜率为y ＇.
，于是有由条件知PQ 之中点位于Y 轴上，故点Q 的坐标是（-x ，0）
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，即微分
方程为 3． 试求
的经过点M （0, 1）且在此点与直线
相切的积分曲线。
【答案】由于直线在（0, 1）处的切线斜率为，依题设知，
所求积分曲线是初值问题的解。
由
积分
得
，代入x=0, y=1,
得
代入x=0
,
得
，即
有
再积分，
得
于是所求积分曲线的方程为
4． 小船从河边点0处出发驶向对岸（两岸为平行直线）。设船速为a ，船行方向始终与河岸垂直，又设河宽为h ，河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为k ）. 求小船的航行路线.
图
【答案】设小船的航行路线为C :
则在时刻t ，
小船的实际航行速度为速;
为小船的主动速度.
，故有
由于小船航行路线的切线方向就是小船的实际速度方向（如图）
分离变量，得
，代入3x=0，y=0，得C=0，故小船航行的路线的方程为
由于小船始发于点（0，0）
5． 试说出下列各微分方程的阶数:
（1）
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，
其中为水的流
，积分得