2017年常州大学石化学院、食品学院601理学数学考研题库
● 摘要
一、解答题
1． 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:
（l ）曲线在点（x ，y ）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;
（2）曲线上点P （x ，y ）处的法线与z 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.
，它在点（x ，y ）处的切线斜率为y ＇，依条件，有y ＇【答案】（l ）设曲线方程为y=y（x ）=x此为曲线方程所满足的微分方程.
，
故该点处法线斜率为（2）设曲线方程为y=y（x ）. 因它在点P （x ，y ）处的切线斜率为y ＇.
，于是有由条件知PQ 之中点位于Y 轴上，故点Q 的坐标是（-x ，0）方程为
2． 计算二重积分大整数。
【答案】将正方形区域D 用三条直线
。如图所示。
分成四个区域
：
，其中
，
表示不超过
的最，即微分
2
即
故
3． 设
【答案】由于f （x ，y ）在不同范围内的表达式不同，故应将积分区域划分为如下图所示。
当
时，
当
时，有
两个区域，求
。
当
时，有
当
时，有
综上所述，得
4． 两个无穷小的商是否一定是无穷小? 举例说明之.
【答案】不一定，例如，不是当
时的无穷小。
在几何上表示什么？
与
都是当
时的无穷小，但
，却
5． 设函数f （x ）在区间[a, b]上连续，且f （x ）≥0，那么
【答案】
表示xOy 面上，由曲线y=f（x ）, x=a, x=b以及x 轴所围成的图形绕x
轴旋转一周而得到的旋转体的体积。 6． 设
一的极大值？参数a ，b 满足什么条件时，
【答案】由极值的必要条件，得方程组
，试问参数a ，b 满足什么条件时，有唯一的极小值？
有唯
即当
。 时，
有唯一驻点
。
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