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一、证明题

1． 设函数f （X ）, g （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导, 且

求证:如果

严格单调增加, 则

,

和

都严格单调增加. 【答案】

不妨设

定理, 存在

使得

又因为

严格单调增加, 所以

从而

从而 2． 设

并求J （2m , 2n ）. 【答案】

移项解得

. 同理

（m , n 为正整数）, 证明:

9

严格单调増加. 同理可证

单调增加.

（否则用

分别代替f （x ）, g （x ））, 根据柯西中值

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移项解得

由上述结论可得

而

故

3．

设

,

其中表示有理数

x 化成既约分数后的分母. 证明f （x , y ）在D 上的二重积分存在而两个累次积分不存在.

【答案】因为对任何正数, 只有有限个点使

, 所以二重积分存在且等于零.

当y 取无理数时, f （x , y ） = 0, 所以

,

. 因此函

, 因而存在一个分割T , 使得

然而, 当y 取有理数时, 在x 为无理数处f （x , y ） =0, 在x 为有理数处数f （x , y ）在任何区间上的振幅总大于, 即函数f

（x , y ）在显然就不存在先x 后y 的累次积分.

同理可证先y 后x 的累次积分不存在.

4．

设

【答案】方法

一

, 由

,

,

证明

:

, 因有极限点列必为有界点列, 故存在

, 当n>N时, 有

上关于x 的积分不存在

.

, 使, 令

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于是当n>N时, 有

即

方法二设

由所以

5． 利用级数收敛性, 证明序列

当

时极限存在.

则级数

的部分和为x n , 所以证

存在归结

可得

【答案】令为证级数收敛. 因

由于若记

, 推出级数, 则

丨.

6． 设函数f 在（a , b ）上连续, 且

【答案】在（a , b ）内任取一点使得

同理, 存在

时有

①

, 使得当

时, 有

②

由f 在（a , b ）上连续可知, f 在区间由闭区间连续函数的最值定理知, f 在对一切

都有

收敛, 也就是存在, c 称为欧拉常数,

. 证明f 在（a , b）内能取到最小值.

. 因为

, 取

, 则存在

,

上连续,

上有最小值点, 即存在

,