2018年安徽农业大学园艺学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
2．
设三维列向量组线性无关，
列向量组
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
使得
线性无关；
向量组
则
线性无关.
和向量组
线性表示；
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
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于是，
方程组的基础解系可选为_
意非零常数.
因此，所有非零列向量
3． 已知
实二次
型
的矩阵
A ，满足
且
其中
所有非零解_
t 为任
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ
）求出二次型【答案】（Ⅰ）
由由
知，
B
的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A 有特征值
即
是属于
A 的特征值
.
则
与—
j 正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然B
的第1
, 2列线性无关
，量，
从而知A 有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
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令
（Ⅱ
）由于
则由正交变换
故
化二次型为标准形
故二次型
4．
已知
且
.
求
又
又
知
即
得
故
【答案】
由题意知故
知
二、计算题
5．
设矩阵
可相似对角化，求x
【答案】先求A 的特征值
所以
（二重根）
，
（单重根）•
于是A 可相似对角化
A 有3个线性无关的特征向量