2018年安徽师范大学数学计算机科学学院615高等数学Ⅰ之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、填空题
1．
【答案】
=_____.
【解析】本题有较多的0, 并有较好的规律性，因此使用拉普拉斯展开式
.
2．
设
其中
【答案】
【解析】
由题意知
中
3．
已知
【答案】27 【解析】
由是将
中的第
列改成
则方程组的解是_____.
又由范德蒙行列式知
的行列式，故
则
有惟一解
其
又矩阵A 和B 相似
，是A 的伴随矩阵.
则=_____.
可知矩阵B 的特征值为2, 3, -2. 又由
的特征值为9, -3, -1.
3, -2，的特征值为6, -6, -4，
矩阵A~B知矩阵A 的特征值亦为2，从而故
4． 设A 为n 阶可逆矩阵，其每一行元素之和都等于a , 则
【答案】
每一行元素之和为_____.
【解析】由于A 的每一行元素之和为a , 即
即
在等式两边左乘A 得
由于A 可逆，
则
从而
-1
二、计算题
5．
设
为正定二次型，求a.
【答案】用赫尔维茨定理, 对f 的矩阵A 进行讨论
A
正定
由 6．
已知
且
由
合起来，
当
时，A 正定，从而f 正定.
是矩阵的一个特征向量
（1）求参数a ，b 及特征向量P 所对应的特征值； （2）问A 能不能相似对角化? 并说明理由. 【答案】（1）利用特征值和特征向量的定义.
设P 所对应的特征值是A , 则由题设
，即
于是，
得到以
为未知数的线性方程组：
（2）A 不能相似于对角阵. 理由是：
当
故
是A 的三重特征值.
但
没有3个线性无关的解. 于是，矩阵A
对应于特征值
时. 容易求得矩阵A 的特征多
项式
从而
故齐次方程
没有3个线性无关的特征向量. 由方
阵相似于对角阵的充要条件知，A 不能相似于一个对角阵.
7． 求解下列齐次线性方程组：
（1
）
（2
）
（3
）
（4
）
【答案】对系数矩阵A 进行初等行变换，化为行最简形. （1）
于是R （A ）=3, 故方程组有4-R （A ）=1个自由未知数；与原方程组同解方程组为
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