2017年中国民航大学理学院817高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即 2． 若
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
为空间的两组基，且
由②有
都是4维列向量，且4阶行列式
4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同.
5． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】
则线性方程组（ ）•
二、分析计算题
6． 设
求解方程
【答案】由已知条件可得
由方程组①可得所以
若记
则由②得
故原方程的通解为
其中k 为任意常数.
7． 设A ，B 是n 阶实对称矩阵，且B 正定，则
（1）（2）设
的根全为实根. 的根为
这里
因为
所以
（2）记于是
的根为
故其根全为实根. 则约束条件
且
求证：
在约束条件
下
的最小值和最大值分别为
【答案】（1）由B 正定，A 实对称，存在实可逆矩阵P ，使得