2017年中国民航大学理学院817高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设线性方程组
的解都是线性方程组的解，则（ ）。
【答案】（C ） 【解析】设
的解空间分别为
则
所以
即证秩
2． 设A 是
矩阵，为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. A. 如果则. 有非零解
B. 如果秩
则
有非零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则有惟一解 D. 如果A 有n 阶子式不为零，则只有零解
【答案】D 【解析】秩
未知量个数，
有零解.
3． 设
为空间的两组基，且
又
则（ ）•
【答案】（C ）
【解析】令由②有
将①代入④得
即
4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
则A 与B （ ）.
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
使
且由①式得
因此A 与B 合同.
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D.
【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
二、分析计算题
6． 证明：秩等于r 的对称矩阵可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和.
【答案】设A 是一个秩为r 的n 级对称矩阵，则有可逆矩阵C 使
其中1的个数等于A 的秩. 用表示对角线上第i 个元素为1, 其余地方都为0的n 级矩阵，则
因为因此
7． 求下列多项式的有理根：
（1）（2）（3）
【答案】（1）可能的有理根为
经计算
而
所以有理根为2 （单根）. （2）（3）
8． 计算：
（1）
（2）
的秩等于1，而
为可逆矩阵，所以上式中的
是对称矩阵. 因此A 可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和.
的秩等于1，而且