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一、证明题

1． 设

证明：交错级数

则

由

即式

成立.

单调递减. 设所给的极限为

取

满

和

(收敛。

适当小) ，有

可知，存在

【答案】先证明一个不等式。设

事实上，令

时，有

足

当

下面回到本题。由已知的极限，当n 适当大时，

则当n 适当大时，有

这里应用了不等式(1) ，由此可知，存在

使当n 适当大时，有

由莱布尼茨判别法，

收敛。

上

有

2． 若f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，且在D 内任一子区

域

【答案】

假设存在

使得对一切

故必在D 上

3． 用定义证明下列极限：

(1) (2) 若

(3) 对黎曼函数

有

【答案】(1) 设

对

(当因为

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使得

，

有

不妨设

则

由连续函数的保号性知：

存在

，

与已知

矛盾.

则

时考虑单侧极限).

取则当时有

即

(2) 对

由

于是有

取

(3) 设

限个有理数

使得

对

，因为满足

，因而可取

的正整数q 只有有限个，从而在

使得

中至多只有有

则当

时，有

从而有

故

则

当

时有

假设

内不含上述有限个有理数，

于是当从而

(当

时考虑0

时，不论x 是有理数还是无理数，都有

的右去心邻域和1的左去心邻域).

4． 求

【答案】因为

所以

二、解答题

5． 求函数数.

【答案】易见u

在点得

处可微，故由

6． 求下列幂级数的收敛半径，并讨论区间端点的收敛性：

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在点处沿方向1 (其方向角分别为) 的方向导

【答案】⑴

在端点. 处，级数为因为使得

又在端点

所以在端点处，级数为

处原级数收敛.

因为

所以在端点(2)

处原级数绝对收敛.

在端点

处，级数为

因为

所以级数的一般项不趋于零，从而在端点散.

7． 取y 为因变量，解方程

【答案】由上题启发，z=z(x ，y ) 中把x ，y 看成自变量，对x 求偏导数，得

解出

再对x 求偏导，得

将

代入上式，有

利用条件得

出

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处原级数发散. 同理在端点处，原级数发

和y 取为因变量以及隐含条

件所

以由此解

出