2017年广州大学高等代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设n 阶方阵主对角上元素为1和0.
【答案】由于因子只能由
于是A 相似于
故A 满足构成.
故存在可逆方阵使
令即由此得又由
可得
从而
则由
得
于是由上同理可得
其中则由
可逆且
再令
因而A 的最小多项式整除
的初等
且
证明：存在可逆方阵P ，使
与
皆为对角矩阵且
及（6），（7），（8）得
2． 设a , b，C 是实数，
证明：（1） A , B，C 相似.
（2）若BC=CB, 则A ，B 至少有两个特征值为0. 【答案】因为
所以A , B，C 的特征矩阵等价，故A ，B ，C 相似. 2）（2）比较矩阵BC=CB的（1，元得故
a=b=c.由
故A 至少有两个特征值为0.
3． 设分块矩阵
【答案】由.
是方阵
，
由
可得
两边取迹得
因此
4． 设
试就a , b的各种取值情况，讨论非齐次方程组
的解，如有解，并求出解.
即
注意到
【答案】因为系数行列式（1）当
且
所以
时，方程组有惟一解
（2）当时，原方程组无解.
（3）当时，原方程组有无穷多解，其通解为. 其中为任意常数.
5． 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3, 向量程组
的两个解.
（1）求A 的特征值与特征向量； （2）求正交阵Q 和对角阵A ，使（3）求A 及
其中E 为3阶单位矩阵.
是线性方
【答案】（1）由于A 各行元素之和为3, 所以
因为故
即
是A 的二重特征值，
是A 属于特征值0的两个线性无关特征向量，且A 属; 不全为0）
再单位化
得
令（3）因
那么Q 为正交矩阵，且
且Q 为正交矩阵，故
由此得，
，所以
是A 的一个特征值，
是
于特征值0的全体特征向量为A 属于3的特征向量，且
（2）对
正交化，令
是A 属于3的全体特征向量.