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一、分析计算题

1． 在欧氏空间中有三组向量的，

和

和

如果

是线性无关均有

都是两两正交的单位向量组，并且对一切

【答案】对每一个i ，有证明由题设，可令

这里

性无关，所以均可逆.

由⑴、（2）可得是上三角矩阵. 令

且时

. 由于两两正交的非零向量组线性无关，且

线

（3）由于上三角矩阵曰的逆矩阵仍是上三角矩阵，且上三角阵的乘积仍是上三角阵，

所以

均为规范正交组，所以C 是正交矩阵，即有i

考虑到及这里为下三

角，为上三角，所以且结合（3）, 命题得证.

2． 设是线性空间V 的两个线性变换. 若存在可逆线性变换S 使似，记为

证明：

在同一基下的矩阵相似.

故

且

又若

则

因此，线性变换的相似关系是等价关系. ②设

在基

下的矩阵为

若

且

即

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则称与相

①线性变换的相似关系是等价关系； ②在有限维空间中，【答案】①因为再若

则

即

又S 在该基下矩阵为C. 则

由于线性变换与其所对应的矩阵的映射是一个同构映射，故

与

相似.

由上倒推可得

反之，若

3． V 是数域P 上一个3维线性空间，

是它的一组基，f 是V 上一个线性函数，已知

求

【答案】先计算出就得到

4． 若

可逆，且

证明

：

可逆，并求

【答案】证法1:因为

所以E —BA 可逆.

令

因为

由式（1）得，

由式（2）得，

所以

即

比较右下角块可得

证法2:因为可逆，所以存在可逆矩阵C ，使

从而

两边左乘B 得

所以

因此有

则

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所以

故 5． 设

求

其中I 为3阶单位阵，【答案】⑴

为A 的转置

可逆，且

（2）

（3）

6． 设V 是一个n 维欧氏空间，它的内积为

（1）证明

是V 上线性函数；

的映射：

是V 到

的一个同构映射. （在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间）

【答案】（1）易证是V 上线性函数，

即（2）现在令映射为

下面逐步证明是线性空间的同构.

①是单射. 即证明当对故这样

于是

即有

因此

是V 的一组标准正交基，

令

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对V 中确定的向量

定义V 上一个函数

（2）证明V 到

时有

②是满射.

取是它们的对偶基，对