2017年海南师范大学小学数学课程与教学论之高等代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、分析计算题
1． 用向量运算证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点
.
图
【答案】设P 是PF 垂直于BC.
如图所示，已知
故BC 垂直于FP.
2． 设A ，B 为n 阶方阵. 证明
：
【答案】若若当
时总有
其中于是
从而亦有
3． 设V 为有限维线性空间，为非零子空间，如果存在惟一的子空间使 试证明之.
【答案】用反证法若
设
则
第 2 页，共 26 页
两条边AB 及AC 的两条垂直平分线的交点.F 是BC 的中点. 即要证明
则
于是总存在实数c ，使当
时有
从而
可令.
故，
（直和）则
，
取则再令
的一组基
令
并扩大为V 的一组基
则
由于
上③式右端的矩阵行列式值为1, 可知基. 因此
下证
用反证法，若
则有
线性无关，从而也是V 的一组
这是不可能的. 因为由
4． 设A 、B 分别为数域P 上一个秩为
的
有矩阵和
再由②知
矛盾.
矩阵，令AB=C.证明：如秩A=r，则数域P 上存在
矩阵D , 满足对于数域P 上任何n 阶方阵Q ，有
的
矩阵D , 满足
有A （DQ+B）
【答案】由于AB=C, 欲证存在秩为
=C，即
ADQ=0.
因为r （A ）=r, 所以存在m 阶可逆矩阵P ，s 阶可逆矩阵R , 使
取
这里
则
有
5． 设V 是数域K 上全体
阶方阵作成的集合，问：V 对以下运算是否作成线性空间？
是用K 乘A 的主对角线上所有元素（别的元
及
知，必
①数与矩阵乘法如常，但矩阵加法规定为：②矩阵加法如常，但数与矩阵乘法规定为：素不动）.
【答案】有
不作成K 上线性空间：因为若V 作成线性空间，则由
即为零方阵，但是对V 中任意方阵A 却有
第 3 页，共 26 页
不作成线性空间：因为加法如常，故若作成线性空间，则其零向量必为零方阵，且由
知，当
矛盾.
6． 求下列
矩阵的不变因子：
【答案】（1）因为（2）因为
所以不变因子为
所以，不变因子为
（3）当
时，原矩阵成为
此时
不变因子为1，1，当
时，
有一个3级子式
第 4 页，共 26 页