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一、分析计算题

1． 设f （x ）是线性空间V （不必是有限维）上的线性函数，证明：

（1）函数f （x ）的核（2）若

由

则

任一向量X 可以唯一表示为

令

于是

故

从而

即S 是V 的极大子空间. 若

则

2． 证明：向量组表示.

【答案】设向量组U ）线性无关. 令

即可由（1）线性表示. 又若卢可由（1）中少于m 个向量线性表示，不妨设

（2）-（3）：

这与（1）线性无关矛盾.

反之，设有向量可由（1）线性表示，但不能由（1）少于m 个的向量线性表示，则（1）必线性无关. 因若不然，则（1）中必有向量可由其余向量线性表示，例如，设线性表示，

从而

3． 已知5阶行列式

线性表示，矛盾.

^

由

代入上式立得

唯一性得证.

（2）由前面的证明知分解的存在性成立，且

是V 的极大子空间.

下证

【答案】（1）显然S 是V 的子空间，若T 是真包含S 的子空间，则

线性无关的充要条件是，存在向量可由它线性表示，但不能由其中任何少于m 个向量线性

【答案】因为

联立解之得

4． 计算n 阶行列式

得

【答案】（1）当y=z时，容易算得

（2）当其中

时，将第n 列写成两项和

那么

可拆成两个行列式之和，即

将②代入①得

由y ，z 对称性，类似可得

得

所以

5． 设，为的代数余子式，，证明：如果D 的某行的元

素全为1，则

【答案】不妨设D 的第一行元素全为1，即

则有又所以

6． 设

是四维线性空间V 的一组基，线性变换

在这组基下的矩阵为

（1）求在基

下的矩阵； （2）求

的特征值与特征向量；

成对角形.

（3）求一可逆矩阵T ，使【答案】⑴

在

下的矩阵为