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一、分析计算题

1． 证明：实对称阵A 半正定

【答案】

设

的一切主子式

任取一k 阶主子式

则对A 存在一个置换阵P ,

使因A 半正定，所以B 也半正定. 设

的前k 行，前k 列恰是

于是

那么对

令

有

所以半正定. 故

只要证明A 的特征根都是非负实数即可. 考虑A 的特征多项

式

（这里

另又知实对称阵的特征根都是实数，如令即

因为有非负特征根.

2． 已知二次型

（1）求a 的值.

（2）求正交变换X=QY, 将（3）求方程【答案】（1）

的解. 的矩阵

化为标准形.

所以式（1）成立，只有

即

与

矛盾. 因此A 只

则

且有

是A 的一切i 阶主子式之和）.

则有

有一负根

由条件知，A 所有的主子式都是非负实数，所以

的秩为2.

由r （A ）=r（f ）=2, 则

故a=0. （2）因为

故A 的特征值为0, 2（二重）。 解方程组（OE —A ）X=0,

取基础解系

（2E —A ）X=0, 取基础解

系

令

（3）由

3． 设二次型

其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. （1）求a ，b 的值；

（2）利用正交变换将二次型，化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 【答案】解法1 （1）二次型f 的矩阵为

设A 的特征值为

由题设，有

解之得a=l，b=2

（2）由矩阵A 的特征多项式

得A 的特征值对于

则为自由未知量.

故

单位化得

显

然

注意到Y=Q’X , 故

’解方程组将之单位化

得

则f 经正交变换X=QY, 化为标准形

解齐次线性方程组（2E-A ）X=0，得其基础解系

对于由于解齐次线性方程组（-3E-A ）X=0，得基础解系

已是正交向量组，因此将单位化，可得

令矩阵

则Q 为正交矩阵. 进而，在正交变换X=QY下，有

且二次型的标准形为

解法2 （1）二次型f 的矩阵为

则A 的特征多项式为

设A 的特征值为由题设得

解之，可得a=l，b=2.

（2）由（1）可得A 的特征值为

以下解法同解法1.

4． 设分块矩阵

（1）（2）

【答案】（1）因为两边取行列式得

则

其中A 、D 都可逆，证明：