2018年华中师范大学数学与统计学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设总体无偏估计.
【答案】由于总体
这给出
于是
若要使
为的无偏估计，即
2． 从数字1，2, …，9中可重复地任取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率.
【答案】记事件A 为“至少取到一次5”，事件B 为“至少取到一次偶数”，则所求概率为P （AB ）, 因为
所以
下表对一些不同的n ，给出P （AB ）的值:
表
从上表可以看出:P （AB ）是随着n 的增加而增加的，直至趋向于1, 这是符合人们直观感觉的.
3． 已知
【答案】由乘法公式知
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是来自该总体的一个样本. 试确定常数c 使为的
这给出
，
求
所以
4． 设9件产品中有2件不合格品，从中不返回地任取2件，求取出的2件中全是合格品，仅有一件合格品和没有合格品的概率各为多少？
【答案】仿抽样模型可得
5． 设随机向量X 与Y 都只能取两个值，试证:X 与Y 的独立性与不相关性是等价的.
【答案】因为独立必定不相关，所以只需证:若X 与Y 不相关，则X 与Y 独立. 不失一般性，可设X 与Y 只取0与1两个值，否则可设X 的可能取值为为c ，d. 又记
所以
与
的可能取值均为0, 1.
与
不相关. 所以只需证
表
与
是独立的. 记
的联合分布列
由X 与Y 不相关可得
的可能取值
与各自的边际分布列如下表所示.
由此可
得
得:
将此代入联合分布列与边际分布列的关系式
由
与的不相关性可
即可得
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即
与
独立，从而证得X 与Y 独立.
，若规定长度在范围
6． 由某机器生产的螺栓的长度（cm
）服从正态分布
内为合格品，求螺栓不合格的概率.
【答案】记螺栓的长度为X , 则
7． 进行独立重复试验，每次试验中事件A 发生的概率为
【答案】
记
试问能以
的把握保证1000次
且
试验中事件A 发生的频率与概率相差多少？此时A 发生的次数在什么范围内？
为1000次试验中事件A 发生的次数，
则
设事件A 发生的频率与概率的差为k , 根据题意，可得如下不等式
或
利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理和修正项可得
由此得
查表得
从中解得
这表明在1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差不小于
或者说，在1000次试验中事件A 发生的次数在次间，即在223次到277次间.
8． 设总体为现对该总体观测n 次，发现有k 次观测值为正，使用频率替换方法求的估计.
【答案】由题意知，观测值为正的频率
下面计算观测值为正的概率. 当总体为
其中为标准正态分布的分布函数. 利用频率替换概率的方法有这给出参数的矩估计为
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时，