2018年淮北师范大学数学科学学院621数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 计算
【答案】设
, 其中为曲线
, 因为
所以积分与路径无关.
取积分路径为从（1, 1, 0）到（1, 1, 1）的直线段, 则
2． 设是开集.
【答案】（1）任取可微, 连续;
（2）对于
时, .
则由定理可知
使开集
由于
所以y 0
为内点, 故f （D ）为开集.
3． 讨论函数
, 则
使
, 因为
是开集f :
且满足, 在D 上
, 而且适合（1） f 在D 上可微, 且连续; （2）当时
则f （D ）
从（1, 1, 0）到（1, 1, 1）的部分.
（1）在x=0点是否可导？
（2）是否存在x=0的一个邻域, 使f 在该邻域内单调？ 【答案】（1）
故f （x ）在x=0可导. （2）当
时,
对一切正整数k 有, x=0的任何邻域内都不单调
.
4．
求螺旋面
的面积.
. 因为, 所以在
【答案】由于所以曲面积为
, , .
,
5． 讨论下列函数在
（1）（2）（3）
时的极限或左、右极限:
【答案】⑴当x>0时
当
时.
因此（2）当当（3）当当当取
时
则时, 时, 时, 不存在.
时,
故故对即对于任给的并且当
. 由时, 由
得即
可知
因此得
不存在. 取
二、证明题
6． 由于帕塞瓦尔等式对于在果证明下列各式:
（1）（2）（3）
上满足收敛定理条件的函数也成立（证略）. 请应用这个结
【答案】（1）知
且f （x ）周期延拓后在
上满足收敛定理条件, 故由帕塞瓦尔等式, 得
即
（2）知
又f （x ）周期延拓后在
内满足收敛定理条件, 由帕塞瓦尔等式, 得
故（3）知
且f （x ）周期延拓后在
内满足收敛定理条件, 故
即
7． 证明:
【答案】因为