2018年兰州理工大学理学院760数学分析之数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若f 为周期函数, 且
【答案】用反证法. 设f 的周期为作数列
则有
由归结原则知.
这与题设矛盾. 故
2． 利用级数收敛的必要条件，证明下列等式:
（1）
（2）
考察正项级数
的收敛性，因为
所以（2）设
从而级数
收敛. 由级数收敛的必要条件知
考察正项级数
的收敛性，因为
所以 3．
（1）（2）
【答案】（1）利用拉格朗日中值定理, 存在
求证:
使得
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则假设
则存在
使得
【答案】 （1）设
从而级数收敛. 由级数收敛的必要条件知
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（2）设
所以
故有
4． 证明:设
在
内收敛
, 若
也收敛, 则
（注意:这里不管
在x=R是否收敛）, 应用这个结果证明
:
【答案】
因
在
内收敛, 所以有
又x=R时, 级数
收敛, 从而由定理知
的和函数在x=R处左连续, 从而
又因为
在
内收敛, 且级数
收敛, 所以
结论得证.
, 则有
二、解答题
5． 试写出下列类型极限的精确定义:
（1）（2）
第
3 页
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【答案】（1）设得当
且
以A 为极限, 记为
（2）设使得当
则称当
6． 设f （x ）在（x ）
且
为D 上的函数, A 是一个确定的数. 若对任给的正数总存在正数M , 使
时,
恒有
成立,
则称当
时,
函数
总存在一个正数
且
. 又设u （x ）表示曲线y=f
为D 上的函数, A 是一个确定的数, 如果对任给的正数
时, 恒有
时
,
以A 为极限, 记为
成立,
上二次连续可微
,
在点（x , f （x ））的切线在x 轴上的截距, 试求极限
【答案】利用切线方程求出
.. 将f （u ）在x=0作泰勒展开:
（在0与u 之间）.
（这里利用了当
时
,
这一事实. 这一点不难用洛必达法则得到）. 于是
对
和
使用洛必达法则, 可得
. 故原极限=
7． 求下列极限:
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）由可得
于是
而（2）当
由迫敛性得时,
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