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一、证明题

1． 证明:定义在对称区间（-1, 1）内的任何函数f （x ）, 必可以表示成偶函数H （x ）与奇函数G （x ）之和的形式, 且这种表示法是唯一的.

【答案】令

则

若还存在偶函数

用-X 代入①式有

由①+②可得

2． 设f :

再代入①式可得

2

且容易证明和奇函数

是偶函数,

, 满足

是奇函数. 下证唯一性.

则有

① ② 均有界. 证明:

2

是连续映射, 若对R 中的任何有界闭集K ,

, 并设

2

2

是闭集.

. 记

【答案】任取点列, 欲证f （R ）是闭集, 只需证明

, 使得,

即可. 事实上, 由f 是R 到R2的映射知, 对每一个Q n , 相应地存在

显然它是有界闭集.

由

由已知条件, 收敛子列

再由

满足

及f 的连续性, 令|可知

, .

, 当

n>N

时

,

, 相应

地

存在.

是有界集, 所以

. , 可得

是有界点列. 由致密性定理

,

. 注意到

, 故

3． 用有限覆盖定理证明聚点定理.

【答案】设有界无限点集中每一点均不是S 的聚点, 则

, 则H 为

有限个邻域

由于

为有限点集

, 使得

所以由上式知S 为有限点集, 与假设矛盾. 故S

在[-M, M]中至少有一个聚点.

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. 显然若S 有聚点, 则必含于

, 使得

中. 假设

为有限点集. 记

的一个开覆盖, 由有限覆盖定理知, 存在H 中

4． 证明定理:.

【答案】定理:

若

）时.

则对任给的

于是当

存在

.

使得当

时, 也有

则对任给的（即

取

存在）时有

, 则当

. 使得

. 而当

（即时, 总有

故

）时有

’

&

即

同理可得

并且

二、解答题

5． 设曲线

【答案】将

由方程组

代入到方程组

:确定, 求曲线在

得

处的切线方程与法线方程.

解得

进一步, 将方程组

中各方程两边分别求微分, 得

将

代入该方程组, 得

解得

.

所以

所以切线方程为:

, 法线方程为:

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6

． 是否存在

由

时, 由

由又知由于是

的连续可导函数

知,

为满足:

在

且

则当

【答案】

方法一 若存在满足这些条件的函数,

上严格单调递増, 又由

存在, .

根据单调有界定理,

从而

存在及这与

存在, 必有

矛盾, 所以假设不成立,

连续, 可知

所以这样的函数不存在.

方法二 假若存在满足这些条件的函数, 由又由对于是从而显然, 当 7． 设

【答案】

存在的充要条件是

当且仅当a=6,

8． 设

（1）H 能否覆盖（0, 1）

?

（2）能否从H 中选出有限个开区间覆盖（i ）【答案】（1）

有

>

有

. 令

, 于是

的子集

? , 所以

,

. 即

. 于是,

. 于是, a=6, b=－9. . 问

要使这个等式成立,

试确定a , b 的值, 使f 在x=3处可导.

时,

有

, 得有

这与条件矛盾,

所以这样的函数不存在.

知

在

上严格单调递增,

. 故H 能覆盖（

0, 1）.

（2）设从H 中选出m 个开区间, 它们是则并实际上

的下确界为

. 故不能从H 中选出有限个开区间来覆盖

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