2018年山西农业大学农学院314数学(农)之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军. 而每次比赛双方取胜的概率都是1/2, 现假定甲、乙两人先比，试求各人得冠军的概率.
【答案】记事件A ，B , C 分别为“甲、乙、丙获冠军”，事件乙、丙获胜”. 则
因为甲、乙两人所处地位是对称的，所以由此又可得
2． 设
.
分别为“第i 局中甲、
即甲得冠军的概率5/14，乙得冠军的概率5/14, 丙得冠军的概率2/7.
服从多项分布
，其概率函数为:
其中分布，即
其中
并把这一分布记作【答案】因为
. 证明:
的后验概率函数为
，记
，
为参数
，
，.
若
的先验分布为Dirichlet
的后验分布为Dirichlet 分布
所以的后验分布服从Dirichlet 分布
3． 已知随机变量X 的密度函数为
试求随机变量Y=g（X ）的概率分布，其中
【答案】因为p （x ）为偶函数，所以可得所以Y 的分布列为
表
1
4． 某产品的不合格品率为0.1，每次随机抽取10件进行检验，若发现其中不合格品数多于1，就去调整设备. 若检验员每天检验4次，试问每天平均要调整几次设备.
【答案】令X 为每次检验中不合格品的个数，
则
. 又记Y 为每天调整设备的次数，则
为 5． 设总体X 服从正态分布令随机变量
【答案】将则
是
表示为个独立的变量
的线性组合, 而
,
.
是来自总体X 的容量为试求
的概率密度.
,
的简单随机样本,
，
而调整设备的概率为，所以平均每天调整次数
，由此得
，其中
.
所以服从正态分布, 其数学期望和方差分别是
即
服从正态分布
, 其概率密度为
6． 设
【答案】因为
，对k=l，2，3，求
所以
7． 设
【答案】因为
，求
的分布.
Y 的密度函数为，所以当y ≤ 0时，
对上式两边关于y 求导，得
即
这是伽玛分布
的可能取值区间为
而当y>0时，Y 的分布函数为
8． 有20个灯泡，设每个灯泡的寿命服从指数分布，其平均寿命为25天. 每次用一个灯泡，当使用的灯泡坏了以后立即换上一个新的，求这些灯泡总共可使用450天以上的概率.
【答案】记且
为第个灯泡的寿命（单位:天），
则
由林德伯格-莱维中心极限定理，所求概率为
二、证明题
9． 设由
明:样本相关系数r 满足如下关系
上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为|
即
，将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有
可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证