2018年山西农业大学林学院314数学(农)之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为
，与n 无关.
又设为“有n 个红球时，白球比黑球出
•
【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球”容易看出:事件A ，B , C 互不相容，且现得早”，记
（2）设其中
. 以下对n 用归纳法:
，则
»
，代入可得
由归纳法知结论成立.
2． 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其密度函数为是相互独立的，试求（1）两周需求量的密度函数
【答案】记（1）（2）
服从伽玛分布
；
（1）当n=0时，则“白球比黑球出现得早”意味着:第一次就取出白球，所以有
设各周的需求量
相互独立，
且密度函数都为
（2）三周需求量的密度函数
为第i 周的需求量，i=1, 2, 3. 根据题意知.
，所以由伽玛分布的可加性知 ，其密度函数为
, 其密度函数为
3． 设有一批产品成箱出售, 每箱有产品10件, 各箱含1件次品, 2件次品, 3
件次品的概率分别为
, 20%和20%.顾客购买时, 由售货员随意选一箱, 顾客开箱任取4件进行检验, 若发现次品不多于1件, 则确定购买此箱产品, 否则不买
.
求顾客购买一箱产品的概率；
若顾客共挑选150箱这样的产品, 求确定购买产品箱数的数学期望与方差. 【答案】则
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设
由全概率公式得
其中
故
设X 表示顾客挑选150箱后确定购买的箱数, 则易知X 服从二项分布故
4． 在显著性水平
下用Hartley 检验考察三个总体方差是否彼此相等.
表
【答案】这是一个检验方差是否相等的问题. 各数据计算如下表所示:
这是一个重复次数相等的单因子试验，为作方差齐性检验，首先计算各水平下的样本方差
由此可计算统计量H 的值
当
5． 如果一个矩形的宽度W 与长度1的比
，这样的矩形称为黄金矩形（看
设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值为， 试检验假设
【答案】这是关于正态分布均值的双侧检验问题，此处总体方差未知， 故拒绝域为
，若取显著性水平
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时，由附表10查得故拒绝域为
所以应该接受原假设
，
由于统计量值，即认为三个总体方差间无显著差异.
上去很舒服）. 下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形宽度与长度的比值
.
，查表知，
经计算，由此，检验统计量
下拒绝原假设.
由于t 值落入拒绝域内，因此在显著性水平
6． 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2, 乙的命中率为0.5, 以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求P （X ≤Y ）
【答案】因为当
:时，有
所以（X ，Y ）的联合分布列为
表
由此得.
7． 某合金钢的抗拉强度y 与碳含量x 有关，现有92炉钢样数据，从中算得
试用两个标准分别建立一元回归方程.
【答案】 （1）用残差平方和最小的标准，可得两回归系数为
（2）用到回归直线垂直距离平方和最小的标准，可得两回归系数为
比较两种标准下的结果，可见与之间相差较大，这是因其相关系数r=0.8902与1有较大差距.
8． —个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾，然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接，求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率.
【答案】因为“六个尾两两相接”不会影响是否成环，所以只需考虑“六个头两两相接”可能出现的情况，若考虑头两两相接的前后次序，则“六个头两两相接”共有
种不同结果，即先
从6个头中任取1个，与余下的5个头中的任1个相接；然后从未接的4个头中任取1个，与余下的3个头中的任1个相接；最后从未接的2个头中任取1个，与余下的最后1个头相接，这总共有6! 种可能接法，这是分母，而要成环则第一步从6个头中任取1个，此时余下的5个头中有1个不能相接，只可与余下的4个头中的任1个相接；第二步从未接的4个头中任取1个，与余
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