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一、分析计算题

1． 设

（1）求V 写成阶乘形式的值；（2）V 的值的末位有多少个零. 【答案】（1）由范德蒙公式

（2）由于

30个零.

2． 设a , b，C 是实数，

证明：（1） A , B，C 相似.

（2）若BC=CB, 则A ，B 至少有两个特征值为0. 【答案】因为

中有15个5, 5个15, 10个10, 从而V 的值的末位有

所以A , B，C 的特征矩阵等价，故A ，B ，C 相似. 2）（2）比较矩阵BC=CB的（1，元得故

a=b=c.由

故A 至少有两个特征值为0.

3． 设A 是n 阶实对称矩阵，且满足

【答案】A 是正定矩阵.

分析由式（5-11）可得A 的一个零化多项式，讨论特征值比较方便. 证明由式（5-11）知

是A 的零化多项式，从而A 的特征

值仅能为1，3，±2i. 由A 是实对称矩阵，则其特征值为实数，于是的特征值只能为1，3, 即A 的特征值全大于0, 故A 正定.

4． 设，

证明：【答案】证法

I

故证法II 对

利用等比级数求和公式（首项为

，公比为

整理后得

5． 证明：

在此基下的坐标.

【答案】设以故又设

为行向量的方阵为A , 则

线性无关，是的一组基.

则由此得

为n 元行空间

的一基，

再求得

即

由此又得

坐标.

6． 设A 为2×2矩阵. 证明|:如果.

【答案】由

设

则由

且

若

这就是在基之下的

若r （A ）=1，则

则k=0，故

又设T 是的一个正交变换，

记证明：

【答案】证法1

则

且

使得

即所以证法2

则由此可知

是直和. 又结合

是直和知，

又任取

则

所以

知

即

故有

综上可知，

从而

在V 的基

问，可否在V 的某组基下矩阵为

下矩阵为

8． 设V 是数域P 上3维线性空间，线性变换

特

（£为恒等变换） 从而

所以

7． 设V 是n 维欧氏空间，内积记为

（因为

别取

有

所以

即

>

故

又若

则由

所以

有