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一、分析计算题

1． 设V 是n 维欧氏空间，内积记为

【答案】证法1

则

且

又设T 是的一个正交变换，

记证明：

使得

即所以证法2

则由此可知

是直和. 又结合

是直和知，

又任取

则

所以

知

即

故有

综上可知，

从而

2． 计算行列式

特

（£为恒等变换） 从而

所以

（因为

别取

有

所以

即

>

故

又若

则由

所以

有

【答案】将第一行的1改写成按第一行拆分得

3． 求证：

【答案】设

其中A 为n 阶矩阵，

则

这时，将①式右端拆成，因此

时）

4． 设

个n 阶行列式之和，但其中有许多行列式等于0

（比如有两列都取

为n 维列向量.

（1）A 能否对角化？（2）求B 的行列式. 【答案】（1）由

得A 的特征值为全部的n 次单位根（2）注意到

它们互不相同，故A 可以对角化。

因而令则故

由A 的全部特征值为

则B 的全部特征值为

5 设A ，B 分别为m ×n 与m ×s 矩阵，X 为n ×s 未知矩阵. 证明矩阵方程AX=B有解．：（A ，B ）. 且当r （A ）=r（A ，B ）=r=n时，AX=B有唯一解；当r

【答案】设

的列向量组. 若AX=B有解

则得

即B 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，从

而

因此，r （A ）=r（A ，B ）.

反之，若r （A ）=r（A ，B ）=r，则B 的列向量组必是A 的列向量组的线性组合，且以组合系数为列向量所构成的n ×s 矩阵便是AX=B的解.

当r=n时由于每个__，r

6． 设矩阵

的解唯一，从而AX=B的解也唯一；当

有无穷多解，故AX=B也有无穷多解.

但显

然

即

分别为矩阵A 与B

的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.

【答案】计算可得A 的特征多项式为

若

是特征方程的二重根，则有