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一、选择题

1． 设n （n ≥3）阶矩阵

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1

B. C.-1

D.

故

但当a=l时， 2． 设均为n 维列向量，A 是

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有

由上述知

线性相关，所以

于是

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【答案】B 【解析】

矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

则

线性无关，

线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

因此线性相关，故选A.

3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】由题设知所以

4． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设

可逆，由于

的伴随矩阵为（ ）.

则分块矩

且

所以

5． 设

其中A 可逆，则A.

B.

C.

D.

=（ ）.

，

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【答案】C 【解析】因为

二、分析计算题

6． 在给定了空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量添上零向量构成一个三维线性空间R3.

（1）问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间；

（2）设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间

能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来.

（3）就用几何空间的例子来说明：若U ，V ，X ，Y 是子空间，满足一定有

【答案】（1）若原点在所指的平面上，则终点在该平面上的全部向量构成子空间.

若原点不在该平面上，则零向量的终点不在该平面上，因而不在此向量集合中. 故该集合不能构成子空间.

（2

）设子空间为

考察当当考察当当

则因而

间.

当维空间.

且因维

维子空间U 和V .U+V

是条直线1, 它不

与

不共面时，

各取

上的一个非零向量

=3=维

+

维

+

维

空间中任一向量是这三个不共=三维几何空间的全部向量. 构成三

是直和.

上的全部向量分别构成两个一

面的向量的线性组合

.

（3）不一定成立.

例取过原点的不重合的两直线

重合时，

重合时，

是平面上不共线的向量

.

由

是一维子空间.

不重合.

各取

上一个非零向量

的线性组合，

故

是二维子空

在

所在的平面上必是结果

在同一平面上，但不全重合时，

不妨设

是一维子空间.

因而

是直和，它是二维子空间

.

不重合时，只交于原点，故

，是过原点的三条直线（可以有重合的）

上全部向量作成的

是否

问

决定的平面上全部向量组成的二维子空间. 再取此平面上过原点的一重合. 令它上面的全部向量构成能子空间为Y . 由（2）

题

则

生成此空间.

若满足

7． P 是数域，a 是一个复数，它满足P 上的一个k 次多项式方程

（1）令（2

）若

则它是P 上线性空间，且可由

是a 满足的P 上多项式方程中次数最低的，

则任意

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