2017年西安电子科技大学数学与统计学院871高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
其中A 可逆，则A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】因为
2． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
3． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
均为n 维列向量，A 是线性相关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关.
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=（ ）.
使AB=0, 则（ ）
.
由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
时，
的解，则（ ）。
则
所以
【答案】（C ） 【解析】设即证秩 4． 设
A. 若
B. 若C. 若D. 若【答案】A
线性相关，则线性无关，则线性无关，则
线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
【解析】因为当否则有
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
由上述知因此 5． 设
线性相关，所以线性相关，故选A.
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
线性表出.
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
于是
由秩A=2, 可知可由
可知线性相关，即可由线性表出，
从而
线性相关，故选D.
二、分析计算题
6． 证明：向量组表示.
【答案】设向量组U ）线性无关. 令
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线性无关的充要条件是，存在向量可由它线性表示，但不能由其中任何少于m 个向量线性
即可由（1）线性表示. 又若卢可由（1）中少于m 个向量线性表示，不妨设
（2）-（3）：这与（1）线性无关矛盾.
反之，设有向量可由（1）线性表示，但不能由（1）少于m 个的向量线性表示，则（1）必线性无关. 因若不然，则（1）中必有向量可由其余向量线性表示，例如，设线性表示，
从而
7． 计算
线性表示，矛盾.
^
【答案】解法1用构造法. 构作线性方程组
（i ） （ii ）当
当
中有两个相等时，显然
互不相等时. 由范德蒙行列式知，方程组①的系数行列式
所以方程组有惟一解，其中
再作n 次方程
由①知，方程③有n 个不同根由根与系数关系知
将④代入②得
解2（i ）当（ii ）当
有两个相等时互不相等时，在
中加一行加一列，配成范德蒙行列式，即
由于所以
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是多项式的系数的相反数，由⑤式右端知f 的系数为
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