2017年武汉科技大学理学院601高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
的解，则（ ）。
则
所以
即证秩
3． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
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是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与
的两个线性无关的解.
2． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
【答案】（C ） 【解析】设
中选三个向量组
从而否定A ,
若选从而否定C ,
4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
则A 与B （ ）.
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
使
且由①式得
因此A 与B 合同. 5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
所以A 的特征值为3，3，0；而
则A 与B （ ）.
二、分析计算题
6． 求矩阵A 的最小多项式，其中
【答案】解法1 A的特征多项式为
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的首一因式为
解法2将A 的特征矩阵化为标准形
由故A 最小多项式为
故A 的最后一个不变因子解法3由
知1是A 的3重根，1的几何重数为：
故其若当标准形为
故最小多项式为
7． 设A 是n 阶方阵，且
【答案】解法1:因为
所以
又因为解法2:因为
所以
由于所以
证明
的两个根是3次单位虚根
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是其最小多项式.
（E 是n 阶单位矩阵，
，是A 的转置矩阵）
求
8． 对任意非负整数n ，令
【答案】因为多项式且
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