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一、计算题

1． 设a 为区间

上的一个定点，随机变量X 服从区间

上的均匀分布. 以Y 表示点X

到a 的距离. 问a 为何值时X 与Y 不相关.

【答案】由题设条件知

又因为

所以由此方程等价于

从中解得在

内的实根为

即

时，X 与Y 不相关.

可得方程

2． 设总体X 的密度函数为:

为抽自此总体的简单随机样本.

（1）证明:【答案】 （1）令即

的分布与无关，并求出此分布.

的置信区间.

则

的分布与无关，其密度函数为

由于从而求得

在y>0上单调递减，为使得区间长度最短，故应取c=0, 所以，的置信水平为

的置信区间为

.

（2）取c ，d 使得

的密度函数为

（2）求的置信水平为

3．

设

是来自韦布尔分布

的样本（已

知），试给出一个充分统计量.

【答案】样本的联合密度函数为

若令

取

由因子分解定理，

4． 设总体

,

【答案】由

于

是的充分统计量.

是来自总体X 的一个样本, 且

, 求统计量

且

的分布. 与

相互独立,

故

即.

又与. 相互独立, 由t 分布的定义得:

5． 假定考生成绩服从正态分布，在某地一次数学统考中，随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？

【答案】本题是关于正态总体均值的假设检验问题，由于总体方差未知，故用t 检验法，欲检验的一对假设为:

拒绝域为由已知条件

，当显著性水平为0.05时，，故检验统计量的值为

因为显著差异.

，故接受原假设，可以认为这次考试全体考生的平均成绩与70分无

注:这里没给出容量为36的样本数据，只给出样本均值与样本标准差s. 由于与s 是正态分布

的充分统计量，而充分统计量是不会失落样本中的有用信息，故给出与s 的值，等

价于给出具体的样本数据. 这一现象会在很多场合里出现.

6． 设二维随机变量

（1）求（2）计算

,

的概率密度为的概率密度函数

；

；

’

（3）计算x 与y 的相关系数. 【答案】 （1）如图所示1所示

图1

由于

, 其中

故⑴当（2）当（3）当⑷当即

或

时, 有时, 有时, 有时, 有

；

； ；

（2）由题意知

又