2018年南开大学数学科学学院718数学分析高等代数之高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,
记
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】由已知，有
于是
2． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1用排除法令这时方法2
所以当
则
即f 不是正定的. 从而否定A , B，C.
则
时，f 为正定二次型.
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则（ ）.
则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于
方法3设对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，二次型可化为
所以f 为正定的.
3． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*, B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果
的伴随矩阵为（ ）.
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
且
所以
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时，A 的3个顺序主子式都大于0, 则，为正定二次型，故选（D ）.
则当，
即
则分块矩阵
4． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则. 则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解 有非零解
有惟一解 只有零解 有零解.
C. 如果A 有阶子式不为零，则，D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
未知量个数
则A 与B （ ）.
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同.
,
故
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式使
二、分析计算题
6． 设
是具有通常内积的欧氏空间, W 是
的子空间.
（1）如W 是下列方程组
的解空间, 求（2）求W 和
在
中的正交补
的标准正交基.
【答案】 （1）原方程组的系数矩阵
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