2017年中国石油大学(华东)理学院704数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：若函数
【答案】令
在区间
内二阶可导，且对
有
将
与
在
点作泰勒展开，有
于
是，对任给的
有
2． 设
【答案】因
时，有
令
收敛，且
，
在
在
上一致连续，证明
=0.
使得当
且
有
则对
上一致连续，故对于
则由积分第一中值定理得，
使得因对上述的
当取
存在时，
则当收敛，故级数
使得
时，因
收敛，从而
即
也即
故
故存在惟一的
使得
易见
且
从而
3．
设
在
上连续，对于区
间
中的每一个
点总存在
. 使
得
求证：至少存在一点【答案】用反证法, 如果函数因为
在
点
在使
得
这与
点.
4． (1) 证明：若
(2) 证明：若f 在【答案】(1) 由于有
从而有
上连续，所以
使得在
上没有零点，那么函数由题设条件知，
在
在内
存在在
上也没有零点，
，使
得
上至少有一个零
. 根据闭区间连续函数的性质，必存在最小值，即存是最小值相矛盾，所以函数
收敛，且存在极限上可导，且存在，若
因
与
设
则 都收敛，则对
发散，于是
存在M ，使得当
时，
也发散. 这
故
与已知条件矛盾，故有
(2)
设
根据第(1) 题知：
5． 证明：若在则有
【答案】
设分点的任何取法，只要
上可积，在
由
上严格单调且在
收敛可知收敛，
所以
上可积，使得对
的任何分割
及
则由定积分定义，
对任给的
就有
由
现设
在由于
时，恒有
上可积知
，
在
在上有界. 设如果
则此时
结论显然成立。
上连续，
又由于在
上可积，故有界，又由导函数的达布
使得当
及任意分点
令
，则
得从而当
的一个分
割时(此时
定理知没有第一类间断点，故
在上连续. 从而一致连续，故存在
和
且
对于
上对
上的任何分割
用拉格朗日中值定理，得
在
满
足
且
有
且
故
即
二、解答题
6． 若
【答案】由
计算
知
7． 计算四重积分
【答案】作变换则得
8． 求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面：
【答案】(1) 因
所以切线方程为
其中