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一、计算题

1． 设某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5. 问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？

【答案】记T 为此种动物的寿命，

由题意知

所以

2． 某厂推土机发生故障后的维修时间T 是一个随机变量（单位：小时），其密度函数为

试求平均维修时间. 【答案】

故其平均维修时间为50小时.

3． 一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？

【答案】设事件A 为“颗骰子掷4次，至少出现一次6点”，则. 为“一颗骰子掷4次，不出现6点”，于是

又设事件B 为“两颗骰子掷24次，至少出现一次双6点”，则瓦为“两颗骰子掷24次，不出现双6点”，于是

从计算结果可以看出：赌徒的感觉是不对的，因为两者的概率相差0.0263，而概率相差0.0263的两个事件，在实际中仅凭感觉很难发现它们的细小差别，只有从理论上才能识别.

4． 设随机变量X 与Y 均服从正态分布，X 服从，Y 服从试比较以下大小

.

【答案】因为

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又因为

的

所以一样大小.

5． 假定考生成绩服从正态分布，在某地一次数学统考中，随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？

【答案】本题是关于正态总体均值的假设检验问题，由于总体方差未知，故用t 检验法，欲检验的一对假设为：

拒绝域为由已知条件因为著差异.

注：这里没给出容量为36的样本数据，只给出样本均值与样本标准差s. 由于与s 是正态分布

的充分统计量，而充分统计量是不会失落样本中的有用信息，故给出与s 的值，等价

于给出具体的样本数据. 这一现象会在很多场合里出现.

6． 掷一颗骰子60次，结果如：

表

试在显著性水平为0.05下检验这颗骰子是否均匀.

【答案】这是一个分布拟合优度检验，总体总共分6类. 若记出现点数i 的概率为的假设为知，

检验的统计量为

由于

未落入拒绝域，故不拒绝原假设. 在显著性水平为0.05下可以认为这颗骰子是均

匀的. 此处检验的p 值为

7． 某人每天早上在汽车站等公共汽车的时间（单位：mk ）服从均匀分布假设的先验分布为‘求后验分布.

【答案】

与的联合分布为

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当显著性水平为0.05时，

s=15, 故检验统计量的值为

故接受原假设，可以认为这次考试全体考生的平均成绩与70分无显

则要检验

则查表

这里k=6，

检验拒绝域为若取

，其中未知，

假如此人在三个早上等车的时间分别为5, 3, 8min ，

此处

于是的后验分布为

所以与的联合分布为

8． 设

（2）在

是来自正态分布的样本.

（1）在已知时给出的一个充分统计量；

已知时给出的一个充分统计量.

【答案】（1）在已知时, 样本联合密度函数为

令理,

（2）在

为

,

取

的充分统计量.

, 由因子分解定

已知时, 样本联合密度函数为

令, 取

由因子分解定理, 为的充分统计量.

二、证明题

9． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明

：

【答案】

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