2017年北京理工大学数学综合数学基础知识之概率论与数理统计复试仿真模拟三套题
● 摘要
目录
2017年北京理工大学数学综合数学基础知识之概率论与数理统计复试仿真模拟三套题（一） . 2 2017年北京理工大学数学综合数学基础知识之概率论与数理统计复试仿真模拟三套题（二） . 6 2017年北京理工大学数学综合数学基础知识之概率论与数理统计复试仿真模拟三套题（三） 11
一、计算题
1． 设随机变量X 的密度函数为
如果已知E （X ）=0.5，试计算【答案】因为
联立（1），（2）解得a=6，b=-6.由此得
所以
2． 由正态总体N （100, 4）抽取两个独立样本, 样本均值分别为, 样本容量分别为15, 20, 试求
【答案】由条件得即
, 于是
3． 设随机变量X
的分布为均匀分布
求:
的分布函数；求期望
在给定
当y ＜0时，当
时，
；当
时，
当
时，
的条件下，随机变量:
服从
且
相互独立, 从而
【答案】（1）分布函数
故分布函数为
（2）概率密度函数为，
则
4． 设随机变量X 的密度函数为
以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事
件{X≤1/2}出现的次数，试求P （Y=2）.
【答案】因为Y 〜b （3，P ），其中
5． 设随机变量X 和Y 独立同服从参数为X 的泊松分布, 令
求U 和V 的相关系数【答案】因为
所以
由此得
6． 已知在文学家萧伯纳的An Intelligent Woman’s Guide To Socialism.—书中，一个句子的单词数X 近似地服从对数正态分布，即中的单词数分别为
所以
今从该书中随机地取20个句子，这些句子
求该书中一个句子单词数均值. 【答案】正态分布
的最大似然估计.
的参数的最大似然估计分别为样本均值和方差. 即
由于最大似然估计具有不变性，因而的最大似然估计为
7． （巴拿赫问题）某数学家有两盒火柴，每盒都有n 根，每次使用时，他任取一盒并从中抽出一根，问他发现一盒空而另一盒还有是此概率的2倍.
先计算样本空间中的样本点个数，因为每次都是等可能地取A 盒或B 盒，共取了2n —r+1次，故样本空间中共有
个样本点.
个，因此
事件E 发生可分两段考察，前2n —r 次中A 盒恰好取到n 次，且次序不论，最后一次（第2n_r+l次）必定取到A 盒，这样才能发现A 盒已空，此种样本点共有
所求概率为
譬如，取
可算得
8． —个质点从平面上某点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，每次游动的距离为1，求经过2n 次游动后，质点回到出发点的概率.
【答案】因为每次都等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，所以经过2n 次游动后，样本空间中共有
设所求事件为样本点共有本点总数
它为
由此得所求概率为
可算得：
根的概率是多少？
【答案】由对称性知，只要计算事件E=“发现A 盒空而B 盒还有r 根”的概率即可，所求概率
个样本点. 事件
发生要求（1）上下游动次数相等；（2）左右游动次数相等，否则不
个，当k 从0到n 累加起来就得事件
所含样
可能回到出发点，若上、下游动各k 次，那么左、右游动只能各n-k 次，这样共游动2n 次，此种