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一、计算题

1． 设

来自贝塔分布族

的一个样本, 寻求（a , b ）的充分统计量.

【答案】样本的联合密度函数为:

由因子分解定理,

2． 设随机变量X 的概率密度为

（1）求Y 的分布函数； （2）求概率

从而a=9.

【答案】（1）先求常数a 的取值：设随机变簠Y 的分布函数为

则

令随机变量

是充分统计量.

故随机变簠Y

的分布函数为

故

3． 把n 个“0”与n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率.

2n 个位置上“1”占有n 个位置，【答案】考虑n 个“1”的放法：所以共有放法，于是所求概率为

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种放法，这是分母，

种

而“没有两个1连在一起”，相当于在n 个“0”之间及两头（共n+1个位置）去放“1”，这共有

具体可算得

随着n 的増加，此种事件发生的概率愈来愈小，

最后趋于零.

4． 某工厂一个班组共有男工9人、女工5人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？

【答案】设事件A 为“3个代表中至少有一个女工”，则为“3个代表全为男工”，因为

所以

5． 设随机变量X 服从参数为X 的泊松分布，试求X 的前四阶原点矩、中心矩、偏度与峰度.

【答案】分几步进行.

（1）先求k 阶原点矩的递推公式. 按定义

显然

而当

时有

（2）由此递推公式可导出前四阶原点矩

.

（3）再计算前四阶中心矩；

（4）最后计算偏度卢；与峰度卢。

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所以泊松分布是正偏分布

，愈小偏度愈大

.

所以泊松分布比标准正态分布更尖峭一些，A 愈小分布愈尖峭.

6． 设X 和Y 是相互独立的随机变量, 且

求Z 的分布列.

【答案】因为X , Y 相互独立, 所以其联合密度函数为

由此得

7． 已知在文学家萧伯纳的An Intelligent Woman’s Guide To Socialism.—书中，一个句子的单词数X 近似地服从对数正态分布，即中的单词数分别为

求该书中一个句子单词数均值. 【答案】正态分布

的最大似然估计.

的参数的最大似然估计分别为样本均值和方差. 即

由于最大似然估计具有不变性，因而

8． 若事件

的最大似然估计为

，是否一定有

发生有多种情况，如

今从该书中随机地取20个句子，这些句子

如果定义随机变量Z 如下

【答案】不能，因为

（1）A ，B ，C 中两两不相容（见图（a ））；

（2）A ，B ，C 中有两个相容，但与第三个都不相容（见图b ））； （3）A 与B 相容，A 与C 相容，但B 与C 不相容（见图（c ））； （4）A ，B ，C 中两两相容，但其交不含任一样本点（见图（d ））

.

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