2018年北京工商大学理学院806概率论与数理统计之概率论与数理统计教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 令【答案】
2． 设随机变量
且X 与Y 相互独立，令
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知，（3）由（2）知所以
由此得
3． 试用特征函数的方法证明分布的可加性:若随机变量
则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是
分布
的特征函数，由唯一性定理知
的方差为
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表示服从二项分布的随机变量，试证明:
所以
因为X 与Y 相互独立，
且X 与Y 独立，
4． 证明:容量为2的样本
【答案】
5． 来自正态总体于对称，
且
【答案】记正态分布则容量为
的样本中位数
的分布函数与密度函数分别为
的密度函数为
令
此变换的雅可比行列式的绝对值
于是y 的密度函数为
其中可得
这表明密度函数同时还有
与
是偶函数，从而
的密度函数
关于
对称，
与
分别是标准正态分布
的分布函数与密度函数，依据它们的性质
与
的容量为
的样本中位数是
证明
的密度函数关
二、计算题
6． 按孟德尔遗传规律, 让开淡红花的豌豆随机交配，子代可区分为红花、淡红花和白花三类，且比例是1:2:1，为了验证这个理论，观察一次实验，得到红花、淡红花和白花的豌豆株数分别为26, 66, 28, 这些数据与孟德尔定律是否一致
？
则要检验的假设为
此处
故
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【答案】这是一个分类数据的拟合优度检验，总体可分为三类. 若记子代出现红花、淡红花和白花的分别概率为
而
该检验的P 值为
故没有理由拒绝，即认为孟德尔定律是可接受的. 经计算，
7． 试证随机变量X 的偏度系数与峰度系数对位移和改变比例尺是不变的，
即对任意的实数
与X 有相同的偏度系数与峰度系数.
【答案】因为
，所以
即Y 与X 有相同的偏度系数. 又因为
所以Y 与X 有相同的峰度系数.
8． 设
是来自
的样本，试给出一个充分统计量.
【答案】样本的联合密度函数为
令
取
由因子分解定理，
为的几何平均
或其对数
的充分统计量. 另外
，
都是的充分
的一一变换得到的统计量，如
统计量.
9． 某大学随机调查120名男同学，发现有50人非常喜欢看武侠小说，而随机调查的85名女同学中有23人喜欢，用大样本检验方法在异？并给出检验的p 值.
【答案】设X 为120名男同学中喜欢看武侠小说的人数，为其真实比例，Y 为85名女同学中喜欢看武侠小说的人数，为其真实比例，
则
待检验问题为
由于这里样本量较大，可以采用大样本u 检验方法，注意到
其中
，于是，在
成立的条件下，近似有
其中
，将
的值代入，可算得
对显著性水平
，
检验拒绝域为
，观测值落入拒绝域，故认为男女同学
下确认:男女同学在喜爱武侠小说方面有无显著差
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