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一、计算题

1． 设随机变量X 与V 相互独立，且

试证:

与

相互独立，且

【答案】因为X 与Y 的密度函数分别为

下求

的联合密度函数，因为

的反函数为

且变换的雅可比行列式为

所以，当

时，有

可见

可分离变量，故U 与V 相互独立，其中

有实根的概率.

而

，因此所求概率为

3． 设二维连续随机变量

的联合密度函数为

求条件概率【答案】因为

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2． 设K 服从（1, 6）上的均匀分布，求方程

【答案】方程

有实根的充要条件是

故先求

而

的非零区域

为图中的阴影部分，

所以当

时，

因而当

时，

所以当由此得

时，

图

4． 试证:

故

的充要条件为:

时，有

则

有

于是对任意的充分性得证.

先证必要性，对任意的故存在充分大的N , 使得当

令时，有

因为于是有

由的任意性知，当

时，有

结论得证.

当

时，

【答案】先证充分性，令

是x 的严格单调增函数，因而对任意的

5． 今有某种型号的电池三批, 它们分别是A 、B 、C 三个工厂所生产的, 为评比其质量, 各随机抽取5只电池为样品, 经试验得其寿命

如下:

表1

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试在显著性水平试求均值差【答案】以提出假设

由已知得

下检验电池的平均寿命有无显著的差异, 若差异是显著的,

和依次表示工厂

不全相等

的置信水平为

的置信区间.

生产的电池的平均寿命.

的自由度分别为

从而得方差分析表如下:

表

2

因

认为平均寿命的差异是显著的. 由已知得

故在显著性水平下拒绝,

, 极限误差E 为

从而分别得和的一个置信水平为的置信区间为

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