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一、证明题

1． 证明下列结论:

（1）设函数列对收敛, 则

（2）设散, 则

在[a, b]上非一致收敛. 【答案】（1）由已知令单调, 所以

由M 判别法知级数（2）假设及

由于

有

都在[a, b]上连续, 令

对上式取极限得

对任意正整数p 都成立, 由柯西收敛准则知收敛. 2． 用

方法证明:

收敛, 矛盾. 故

在[a, b]上非一致

和,

则由

.

在[a, b]上绝对收敛且一致收敛.

在[a, b]上一致收敛, 则

, 存在正整数N , 当n>N时, 对任意正整数p

都收敛.

知

收敛.

由

在[a, b]上

中的每一项

都是[a, b]上的单调函数. 若

和

都绝

在[a, b]上绝对收敛且一致收敛;

都在[a, b]上连续, 级数

在[a, b]上处处收敛, 而在x=b处发

【答案】则

因此,

存在

当

时, 便有

即

3． 设

为单调数列.

证明:若

, 则

存在聚点, 则必是惟一的

, 且为

中含有无穷多个中只能含有即任给

的确界.

. 令

, 则当

【答案】

设

时,

假设, 使综上,

若

是一个单调递增数列. 假设, 于是

是它的两个不相等的聚点, 不妨设

中的点, 设

中有穷多个点, 这与是聚点矛盾.

因此, 若

0, 按聚点的定义,

存在聚点, 则必是惟一的.

无界,

则

存在正整数N , 当n>N时,

有界. 对任给的

, 的确界.

为

,

其中【答案】因

故原公式成立.

5． 证明:

若f

（x ）在[a, b]上只有第一类间断点, 则f （x ）在[a,

b]上有界.

【答案】假设f （x ）在[a, b]上无界, 则对每一个自然数n , 存在互异点列

. 由致密性定理, 存在但

6． 证明曲线积分的估计式:利用上述不等式估计积分

【答案】因为

这里又

为曲线AB 上任一点的切向量的方向余弦; 有

, 于是小于M 的只有, 由聚点定义,

必存在

有限项, 因此不可能存在聚点, 这与已知题设矛盾, 故

按上确界定义知有聚点

, 必惟一, 恰为

4． 证明:由曲面S 所包围的立体V 的体积

为曲面S 的外法线方向余弦.

使

的子列从xQ 的左方或右方收敛于与

,

不收敛, 即

不存在, 这与f （x ）只有第一类间断点矛盾. , 其中L 为AB 的弧长

, 并证明

.

, 并

, 于是

圆的参数方程为

, 而

从而

, 故由迫敛性知

•

二、解答题

7．

求

【答案】因为

所以

8． 试问集合

与集合

是否相同？

【答案】给出的两个集合是不相同的, 第一个集合挖去了两条线段及

9． 设

试求【答案】当

时, 由

知

第二个集合挖去了一个点（a , b ）.