2017年沈阳工业大学理学院817高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 求由摆线x=a（t-sint ），y=a（1-cost ）的一拱（0≤t ≤2π）与横轴所围成的图形的面积.
，则所求面【答案】以x 为积分变量，则x 的变化范围为[0，2πa]，设摆线上的点为（x ，y ）积为
，再根据参数方程换元，令x=a（t-sint ），则y=a（1-cost ），因此有
3
2． 己知某车间的容积为30×30×6m ，. 现以含CO 20.04%其中的空气含0.12%的CO （以容积计算）2的新 鲜空气输入，问每分钟应输人多少，才能在30 min后使车间空气中CO 2的含量不超过0.06%?（假定输入的新鲜 空气与原有空气很快混合均匀后，以相同的流量排出. ）
3
，则【答案】设每分钟输入v （m ）的空气. 又设在时刻t 车间中CO2的浓度为x=x（t ）（%）
在时间间隔[t，t +dt]内，车间内CO 2的含量的改变量为
即
且
即
代入初始条件
依题意，当t=30时，
故每分钟至少输入新鲜空气
3． 利用极坐标计算下列各题:
（1）（2）内的闭区域;
（3
）
，其中D 是由圆
周
所围成的在第一象限内的闭区域。
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将上述微分方程两端积分，得
可得将
于是有
代入上式，解得
，其中D 是由圆周
，其中D 是由圆周
所围成的闭区域;
及坐标轴所围成的在第一象限
及直
线
【答案】（1）在极坐标系中，积分区域，于是
（2）在极坐标系中，积分区域，于是
（3）在极坐标系中，积分区域
，于是
4． 求点M （4，﹣3，5）到各坐标轴的距离.
【答案】点M 到x 轴的距
离
，点M 到z 轴的距离
5． 利用二重积分的性质估计下列积分的值:
，其中，其中，其中
，其中
【答案】（1）在积分区域D 上，
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，点M 到y 轴的距
离
；
；
；
。
，从而
。又D 的
面积等于1，因此
（2）在积分区域D 上，积等于
，因此
（3）在积分区域D 上有
，D 的面积等于2，因此
（4）因为在积分区域D 上有又D 的面积等于
，因此
6． 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：
，所以有
，从而
，又D 的面
【答案】（1）分别在两个方程两端对X 求导，得
移项，得
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