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一、计算题

1．

求上半球面和xOz 面上的投影.

【答案】如图所示. 所求立体在xOy 面上的投影即为

得所围成的区域

.

z 轴及曲线故所求立体在xOz 面上的投影为由x 轴，

，而由

与圆柱体

的公共部分在xOy

图

2． 已知一组实验数据为

。现若假定经验公式是

试按最小二乘法建立a ，b ，c 应满足的三元一次方程组。 【答案】设M 是各个数据的偏差平方和，即

令

整理，得a ，b ，c 应满足的三元一次方程组如下

3．

设

，其

中，其中

何意义说明柱体位于

与

之间的关系。

、顶为曲面:的曲顶柱体

。由此可知

的曲顶

的体积（图）. 由于

分成四个

表示底为

、顶为曲面:

；

又

。试利用二重积分的几

【答案】解法一:由二重积分的几何意义知，表示底为的体积; 上方的曲面:

关于yoz 面和zox 面均对称，故yoz 面和zox 面将

等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为

图

解法二:

设

关于x 是偶函数，故

又由于

关于X 轴对称，被积函数

关于y 是偶函数，故

从而得

。由于关于y 轴对称，被积函

数

4． 用根值审敛法判定下列级数的收敛性:

其中

【答案】（1）因（2）因（3）因（4）

①当ba时，因

则

故级数收敛。 ，故级数发散。

发散，

又如

均为正数。 故级数收敛。 故级数收敛。 故级数收敛。

③当b=a时，级数的收敛性不能确定（例如

，

收敛）。

5． 设有一无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为0.1cm ，内高为20cm ，内半径为4cm. 求容器外壳体积的近似值.

【答案】圆柱体的体积公式为V 的增量△v ，因为

当R=4，H=20，△R=△H=0.1时

即溶器外壳的体积大约是

55.3

6． 求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数

；

【答案】（1）应用隐函数的求导方法，得

，由题意，圆柱形容器的外壳体积就是圆柱体体积

.

，于是在上式两端再对x 求导，