2017年沈阳大学区域污染环境生态修复教育部重点实验室601数学(自命题)考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 设己知两点
【答案】向量
（4，
，1）和
（3，0，2），计算向量. 其方向余弦分别为
方向角分别为
的模、方向余弦和方向角.
，1），其模
=
=（3，﹣4，0，﹣
，2，﹣1）=（﹣1，﹣
2． 下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的? 如果是对的，说明理由; 如果是错的，试给出一个反例。
（l ）如果函数f （x ）在a 连续，那么│f （x ）│也在a 连续; （2）如果函数│f （x ）│在a 连续，那么f （x ）也在a 连续。 【答案】（1）对。因为（2）错。例如
则│f （x ）│在a=0处连续。而f （x ）在a=0处不连续。
3． 设螺旋形弹簧一圈的方程为
，求：
（1）它关于z 轴的转动惯量I z ； （2）它的质心。 【答案】（1）
，其中
，它的线密度
，所以│f （x ）│也在a 连续。
（2）设质心位置为
。
由
于
因此
同理
4． 已知函数序列
（1）问（2）证明
取多大，能使当
在
在任一有效区间[a, b]上一致收敛。
，因此对于正数ε，取
则
故
取
当
时，对一切
都有
上收敛于0.
时，与其极限之差的绝对值小于正数ε？
【答案】（1）由于当
就有（2）记
则
于是
即
5．
在设
上一致收敛于0. 为曲
面
.
的上侧，计算曲面积
分
【答案】设为所围成部分的下侧，记由
所围立体为，则
因为
所以
因此，计算得
.
6． 设在xOy 面上有一质量为M 的质量均匀的半圆形薄片，占有平面闭区域
，过圆心。垂直于薄片的直线上有一质量为m 的质点P ，OP=a。
求半圆形薄 片对质点P 的引力。
【答案】 积分区域
，于是
由于D 关于y 轴对称，且质量均匀分布，故F x =0。又薄片的面密度
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