2017年沈阳大学区域污染环境生态修复教育部重点实验室601数学(自命题)考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 说明下列旋转曲面是怎样形成的：
【答案】
的旋转曲面，或表示xOz 面上的椭圆
表示xOy 面上的双曲线
面，或表示yOz 面上的双曲线
表示xOy 面上的椭圆
绕x 轴旋转一周而生成
绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面
.
绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲
绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面
.
绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲
表示xOy 面上双曲线
面，或表示xOz 面上双曲线
绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面
表示xOz 面上直线z=x+a或z=﹣x+a绕z 轴旋转一周而生成的旋
转曲面，或表示yOz 面上的直线z=y+a或z=﹣y+a绕z 轴旋转一周而生成的旋转曲面.
2． 求由抛物线与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。
，设过焦点的直线为y=k（x-a ），则该直线与抛物线的交点的【答案】抛物线的焦点为（a , 0）纵坐标为
，
，面积为
故面积是志的单调减少函数，因此其最小值在
，即弦为x=a时取到，最小值为
。
3． 设
【答案】
，而
，求
4． 利用斯托克斯公式把曲面积分如下：
（1）（2
）
，为上半球面
为立方体
的上侧，n 是的单位法向量；
的
，从z 轴正向看去取逆时针向
，
化为曲线积分，并计算积分值，其中A , 及n 分别
表面外侧去掉xOy 面上的那个底面，n 是的单位法向量。
【答案】（1）的正向边界曲线为xOy 面上的圆周的参数方程为由斯托克斯公式
t 从0变到2π。
（2）的边界曲线为xOy 面上由直线轴正向看去取逆时针向，由斯托克斯公式
所围成的正方形的边界，从z
5． 一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m ，另一端离开钉子12m ，分别在以下两种情况下求链 条滑下来所需要的时间:
（l ）若不计钉子对链条所产生的摩擦力; （2）若摩擦力为lm 长的链条的重量.
【答案】设链条的线密度为，则另一端离钉子离钉子x=x（t ）
即
解
得
又
将
，代入初始条件），取
则链条的质量为，当t=0时，x=12. （如图）
又设在时刻t ，链条的一端
按牛顿定律，有
由特征方
程
即故
（或
）
求得方程通
解
（或即
（1）若不计摩擦力，则运动过程中的链条所受力的大小为
且有初始条
件代入方程，
得
得
x=20，
得
（2）摩擦力为1m 长链条的重量即为偌，则运动过程中的链条所受力大小
为
按牛顿定律，有
且有初始条件
满足该条件的特解为
取x=20, 得
即
即
6． 利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值：
【答案】（1）
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