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一、解答题

1． 验证下列积分与路线无关, 并求它们的值:

（1）（2）（3）（4）（5）【答案】（1）

所以积分与路径无关, 取路径y=x, 得

（2）由关, 取路径

如图, 则

’,

, 则

, 沿在右半平面的路线; , 沿不通过原点的路线;

, 其中,

少为连续函数.

其中P=x=y, Q=y—x ,

.

. 所以积分与路径无

,

图

（3）因

,

,

•故积分与路径无关, 且

（4）当（5）因

,

时,

为连续函数, 则

分别是

和的原函数,

于是无关, 从而

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是全微分, 故积分与路径无关, 且

可见积分与路径

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2

． 将直角坐标系下Laplace 方程

【答案】设

则

类似可求

因此

3． 分别用梯形法和抛物线法近似计算

【答案】（1）梯形法（取n=10）

（2）抛物线法（取n=10）

4

．

设为正实数, 确定使

A 的范围（要叙述过程）.

【答案】当当

时,

在

事实上, 当

时, X 显然在时, 因为

上一致连续.

上一致连续即可.

上不一致连续.

在[0, 1]上一致连续, 所以只要证明它在

第

3

页，共

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化为极坐标下的形式.

（将积分区间十等分）.

在上一致连续的的范围以及使在不一致连续的

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由

上有界可知, 尽管

在

不一致连续. 当

时, 取

,

, 但是

故在 5． 设

上不一致连续. , 求证

:

,, 显然有

.

于是

【答案】令

6． 设f （x ）在

【答案】由f （x

）在

时

有其中

上一致连续, 则存在非负实数a 与b , 使得对一切

上一致连续,

所以对

,

当

,

均有

,

且

. 对任意, 因f （x ）在

存在整数n , 使得

上有界, 所以存在M>0,

使得

.

因此, 当n 为正整数时有

当n 为负整数时有

由

知

, 代入上式得

记

, 则a>0, b>0, 使得

.

二、证明题

7． 证明:函数f （x ）在区间上一致连续的充要条件是:

, 只要

, 就有

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.