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一、证明题

1． 证明施瓦茨不等式:若f （x ）和g （x ）在[a, b]上可积, 则

【答案】

, 因为

所以

若

f x ）=0, 等式成立; 若则（即

故

2． 证明:

（1）无穷积分（2）无穷积分【答案】利用级数法. （1）原积分

而

当

时有

故

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. 即

, 上式是关于t 的二次三项式, 且非负, 于是有判别式,

发散; 收敛.

由

发散

, 可知

发散, 从而原积分发散.

（2）类似于（1）, 有原积分而

当

时利用不等式

, 有

9

故

由

3． 证明:反常积分

【答案】因为

在

上一致收敛. 所以有

又因为

收敛, 根据魏尔斯特拉斯判别法可知, 反常积分

在

上一致收敛.

收敛,

可知

收敛. 同理可证

收敛, 从而

收敛. 由此可知, 原积分收敛.

4． 证明

:设f

为幂级数在（﹣R ,

R ）上的和函数, 若f 为奇函数, 则级数仅出现奇次幂的项,

若f 为

偶函数, 则仅出现偶次幂的项

.

【答案】由

当f （x ）为奇函数时,

又

故此时有

当f （x ）为偶函数时,

又

第

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可得

故此时有

5． 求证含参量广义积分

【答案】任取（1）当

a>0时, 因为（2）当a=0时

,

且充分小, 使得

的任何有界闭子区间上一致收敛.

的有界闭子区间[a, b] （a

收敛, 所以广义积分

当B>A>0时

, 有

在[a, b]上一致收敛.

①若②若故当

则

因为广义积分时, 即

时

,

关于

时,

收敛, 所以存

, 当

时

所以广义积分

在[0,

b]

综合①, ②讨论, 当

上一致收敛. 由（1） （

2）可知, 广义积

的任何有界闭区间上一致收敛

.

二、解答题

6． 求下列各函数的函数值

:

（1）

（2

）（3）

【答案】 （1）

求

, 求, 求

（2）

（3）

7． 对幂级数域上的一致收敛性.

【答案】（1）记

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, （1）求其收敛域; （2）求其和函数; （3）讨论幂级数在收敛