当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

【答案】

下证

是数列

（反证法）. 假设x 0不是数列因

为

对

, 则一定

有

矛盾. 于是必有

此

, 是数列的一个聚点.

2． 证明:函数

在点（0, 0）连续且偏导数存在, 但在此点不可微. 【答案】因为

从而

所以, f （x , y）在点（0, 0）连续. 由偏导数定义知

同理但当

时, 其值为0. 所以,

3． 设函数f 在区间I 上连续, 证明:

（1）若对任何有理数

有f （r ） =0, 则在I 上f （x ） =0;

有. 又因为

第 2 页，共 25 页

‘试证:数列的一个聚点.

的聚点, 则存在

的聚点全体恰为闭区间

不含有数列 N ,

当

时,

有

|

这是因为

于

是

的任意一项. 这里

即

.

不妨设. 这

与

的聚点. 矛盾. 因

, 所以存在自然数来说,

或者

或者

如若不然, 则

有

这说明B 不可能是数列

所以, f （x , y）在点（0, 0）的偏导数存在.

考察

由于当

时,

其值为

不存在, 故f （x , y ）在点（0, 0）不可微.

（2）若对任意两个有理数

由f 的连续性得

则f 在I 上严格增.

使.

当

, 所以

【答案】（1）设x 0为中的任一无理数, 由有理数的稠密性知,

存在有理数列

为有理数时, f （r ）也为0, 于是, 在I 上f （x ）=0.

（2

）设有两个实数由使得当

而当

, 满足可知

,

时,

时

,

, 由有理数的稠密性知, 存在有理数r 1, r 2使得

,

两点连续.

,

存在

, 从而,

从而

. 再由

；

.

存在有理数

知,

（设

.

对于正数

并且）, 和

因为f （x ）在I 上连续, 所以f （x ）在

故f 在I 上严格递增.

4． 设z=siny+f（sinx －siny ）, 其中f 为可微函数，证明:

【答案】设u=sinx－siny , 则

所以

5． 证明:当x>0时有不等式

【答案】令且

故

,

则

于是

, 使得

因

ft

上递减,

, 根据积分第二中值定理, 存在

二、解答题

6． 求空间曲线

上对应于点x=1的处的切线方程与法平面方程. 【答案】当x=1时, 有

第 3 页，共 25 页

解之得设

与. 于是对应于x=1的点是,

通过计算易知,

在点

有

于是, 切线方程和法平面方程分别为:

和

在点

有

于是, 切线方程和法平面方程分别为:

和

7． 在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数:

（1）（2）（3）

【答案】（1）（i ）f （x ）及其周期延拓的图像如图1所示,

图1

显然f （x ）在因为

第 4 页，共 25 页

内按段光滑, 由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数,