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一、证明题

1． 试证明冲激响应分别为

的三个LTI 系统对激励f （t ）=cost具有同一响应，并另找出一个对激励cost 具有同一响应的LTI 系统的冲激响应。

【答案】设

（l ）当f （t ）激励于系统h l （t ）时，响应y （t ）计算如下（设

的反变换y （t ）为

（2）当f （t ）激励于系统

时

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）

（3）当f （t ）激励于系统h 3（t ）时，

可见，

激励于以上三个LTI 系统，具有同样的响应。

，且

则

由上述计算知

所以

从此题可得出，对不同的LTI 系统，激励为就不一定有不同的响应。

2． 证明

【答案】由

且

可得

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假定另一个LTI 系统的冲激响应为

时一定有不同的响应，但对其他激励来讲，

3． 试证明前四个勒让德多项式在（-1，1）内是正交函数集。它是否规格化?

【答案】前四个勒让德多项式为

在区间（-1, 1）内，

又

根据定义可知，故不是规 格化正交函数集。

4．

若

在（-1，l ）内是正交函数集，但由于

，

（只取单边的频谱）。试证明

其中

【答案】因

，故

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