2018年中国矿业大学(北京)理学院602数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 计算
【答案】
2． 试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积:
（1）心形线（2）双纽线【答案】 （1）
（2）
3． 写出下列级数的乘积:
（1）（2）
【答案】（1）级数得第n 条对角线和
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与级数
在
时均绝对收敛, 从而可按对角线相乘,
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下面考虑n 的奇偶性
原式（2）因
收敛, 故级数
与
均绝对收敛,
按对角线相乘得
所以, 原式
=
4．
求出椭球
在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体积.
切平面在坐标轴上的截距分别为:
则椭球面在第一卦限部分上任一点处的切平面与三个坐标面围成的四面体体积为
故本题是求函数
在条件设令
下的最小值.
【答案】
由几何学知, 最小体积存在. 椭球面上任一点（x , y , z ）处的切平面方程为
=1
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解得
故
5． 判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出它们的聚点与有界点:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）
【答案】（1）经判定可知该点集是有界集, 也是区域, 但既不是开集又不是闭集. 其聚点为中任一点. 界点为矩形[a, b] ×[c, d]的四条边上的任一点.
（2）该集为开集, 不是有界集也不是区域, 其聚点为平面上任一点, 其界点为两坐标轴上的点. （3）该集为无界闭集, 不是开集不是区域, 其聚点为坐标轴上的任一点, 而界点与聚点相同. （4）该集为开集, 且为区域, 聚点为满足集内的任一点和任一界点.
（6）该集为有界闭集, 聚点为闭集中任一点, 界点与聚点相同. （7）该集为有界闭集, 聚点为集合
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中除去x +y＜1部分.
上任一点, 界点为上的所有点.
（5）该集为有界开集, 界点为直线x=2, y=2和x+y=2所围成的三角形三边上的点, 聚点为开
或中的所有点, 界点为聚点
（8）该集为闭集, 没有聚点, 界点为集合
6． 试在数轴上表示出下列不等式的解:
（1）（2）
（3）
【答案】（1）由原不等式得
均为整数）中的全体点.
上的点, 界点与聚点相同.
（9）该集为非开非闭的无界集, 聚点为点（0, 0）及曲线
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